Lógica aristotélica: Órganon, silogismo y análisis del razonamiento
La lógica aristotélica: el análisis sistemático del razonamiento, el Órganon, la predicación, la estructura del silogismo, sus figuras y las reglas del argumento válido.
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La lógica aristotélica es el conjunto de investigaciones de Aristóteles sobre la estructura del razonamiento, la predicación, la demostración y los argumentos incorrectos.
Su núcleo más famoso es la teoría del silogismo, desarrollada principalmente en los Primeros analíticos.
La pregunta central es:
¿Cuándo una conclusión se sigue necesariamente de determinadas premisas?
La lógica no pregunta primero si una afirmación es verdadera en la realidad. Pregunta por la relación inferencial entre las proposiciones.
Todos los mamíferos son animales.
Todos los perros son mamíferos.
∴ Todos los perros son animales.Si las dos premisas son verdaderas, la conclusión no puede ser falsa. Esta es una inferencia deductiva.
La gran aportación de Aristóteles consiste en haber proporcionado un análisis sistemático de determinadas formas de inferencia, mostrando que podemos estudiar su estructura independientemente de los contenidos concretos.
Los seres humanos razonaban mucho antes de Aristóteles. Lo novedoso es que Aristóteles convirtió el razonamiento en objeto de una investigación sistemática.
En lugar de limitarse a utilizar argumentos, preguntó:
- ¿Qué es una inferencia?
- ¿Qué tipos de proposiciones existen?
- ¿Qué hace que una inferencia sea necesaria?
- ¿Qué formas de argumento son válidas?
- ¿Qué diferencia una demostración de un razonamiento aparente?
- ¿Cómo se relacionan afirmación y negación?
- ¿Qué papel desempeña el término medio?
Ese paso de razonar a analizar formalmente el razonamiento es una de las grandes novedades de la tradición aristotélica.
Los escritos lógicos de Aristóteles fueron reunidos posteriormente bajo el nombre de Órganon, palabra griega que significa aproximadamente «instrumento».
La colección tradicional contiene:
- Categorías
- Sobre la interpretación (De Interpretatione)
- Primeros analíticos
- Segundos analíticos
- Tópicos
- Refutaciones sofísticas
No todas estas obras tienen exactamente el mismo objetivo.
Las Categorías estudian diferentes modos de predicación y clasificación de lo que puede decirse de las cosas.
La lista tradicional contiene diez categorías:
- Sustancia
- Cantidad
- Cualidad
- Relación
- Dónde
- Cuándo
- Posición
- Estado o hábito
- Acción
- Pasión
La sustancia ocupa una posición fundamental. Las Categorías no son todavía la teoría del silogismo, pero proporcionan parte del trasfondo conceptual para comprender la predicación.
Sobre la interpretación estudia, entre otras cuestiones:
- Nombres
- Verbos
- Afirmaciones
- Negaciones
- Proposiciones universales
- Proposiciones particulares
- Oposición entre proposiciones
Es especialmente importante para comprender la teoría tradicional de las proposiciones categóricas.
Los Primeros analíticos constituyen el centro de la teoría aristotélica del silogismo. Aristóteles analiza qué inferencias tienen carácter necesario y clasifica sistemáticamente diferentes formas de silogismo.
Los Segundos analíticos estudian la demostración científica. Aquí la cuestión deja de ser simplemente:
¿La conclusión se sigue de las premisas?
y pasa a ser también:
¿Qué condiciones debe cumplir una demostración para constituir conocimiento científico?
Por eso la lógica aristotélica está estrechamente relacionada con su teoría del conocimiento y de la ciencia.
Los Tópicos estudian la argumentación dialéctica. No todos los argumentos utilizados en una discusión parten de principios necesarios. La dialéctica trabaja también con opiniones generalmente aceptadas y procedimientos para examinar posiciones.
Las Refutaciones sofísticas estudian argumentos que parecen demostrar algo pero que no lo hacen realmente. Constituyen una fuente fundamental para la tradición occidental de estudio de las falacias.
Aristóteles define el silogismo como un discurso en el que, establecidas ciertas cosas, se sigue necesariamente otra distinta de ellas por el hecho de que aquellas sean así.
En términos actuales:
Un silogismo es una inferencia en la que unas proposiciones —las premisas— implican necesariamente otra —la conclusión— de acuerdo con una determinada estructura.
Todos los seres humanos son mortales.
Todos los griegos son seres humanos.
∴ Todos los griegos son mortales.Hay:
- Dos premisas
- Una conclusión
- Tres términos
El silogismo categórico es el tipo de silogismo que utiliza proposiciones categóricas, es decir, proposiciones que afirman o niegan una relación entre dos términos.
Todos los mamíferos son animales.
Todos los perros son mamíferos.
∴ Todos los perros son animales.Las proposiciones no tienen forma:
Si ocurre A, entonces ocurre B
Tienen forma:
Todo S es P
Por eso se llama categórico.
Un silogismo categórico tiene tres términos distintos:
- Término menor (S)
- Término mayor (P)
- Término medio (M)
Todos los mamíferos son animales.
Todos los perros son mamíferos.
∴ Todos los perros son animales.Es el sujeto de la conclusión: perros
Se representa convencionalmente por S.
Es el predicado de la conclusión: animales
Se representa por P.
Es el término que aparece en ambas premisas pero no en la conclusión: mamíferos
Se representa por M.
S = perros (término menor)
P = animales (término mayor)
M = mamíferos (término medio)
El término medio establece la conexión entre los otros dos términos.
Tenemos:
perros → mamíferos → animalesEl término medio «mamíferos» permite conectar «perros» con «animales».
En el silogismo terminado, el término medio desaparece:
Todos los perros son animales.
Esta función explica la importancia estructural del término medio.
Los términos mayor y menor determinan el nombre de las premisas.
Es la premisa que contiene el término mayor.
Es la premisa que contiene el término menor.
Todos los mamíferos son animales. ← Premisa mayor
Todos los perros son mamíferos. ← Premisa menor
∴ Todos los perros son animales.La conclusión contiene:
- Menor = perros
- Mayor = animales
Por tanto:
- «Todos los mamíferos son animales» es la premisa mayor
- «Todos los perros son mamíferos» es la premisa menor
La tradición lógica clasifica las proposiciones categóricas en cuatro formas.
Forma: Todo S es P
Ejemplo: «Todos los perros son mamíferos»
Forma: Ningún S es P
Ejemplo: «Ningún perro es reptil»
Forma: Algún S es P
Ejemplo: «Algunos animales son mamíferos»
Forma: Algún S no es P
Ejemplo: «Algunos animales no son mamíferos»
Cada proposición categórica tiene dos dimensiones.
Puede ser:
- Universal (todo, ningún)
- Particular (algún)
Puede ser:
- Afirmativa (es)
- Negativa (no es)
De su combinación surgen las cuatro formas:
Forma A (Universal Afirmativa): Todo S es P — Ejemplo: «Todos los perros son mamíferos»
Forma E (Universal Negativa): Ningún S es P — Ejemplo: «Ningún perro es reptil»
Forma I (Particular Afirmativa): Algún S es P — Ejemplo: «Algún animal es mamífero»
Forma O (Particular Negativa): Algún S no es P — Ejemplo: «Algún animal no es mamífero»
Las letras A, E, I y O no son una notación que Aristóteles utilizara tal como se enseña actualmente. Proceden de la tradición lógica posterior.
Lo mismo ocurre con los nombres: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, etc.
Por tanto, es más preciso decir:
La tradición lógica posterior clasificó las formas aristotélicas mediante A, E, I y O y utilizó nombres mnemotécnicos para los modos.
No:
Aristóteles llamó Barbara al primer modo.
La distribución es una herramienta de la lógica tradicional para comprobar la validez de los silogismos.
Un término está distribuido cuando la proposición se refiere a todos los miembros de la clase designada por ese término.
Ejemplo: «Todos los perros son mamíferos»
Se habla de:
- Todos los perros ✓ Distribuido
- Pero no de todos los mamíferos ✗
Por tanto: S: D, P: ND
Ejemplo: «Ningún perro es reptil»
La proposición excluye a:
- Todos los perros ✓ Distribuido
- Todos los reptiles ✓ Distribuido
Por tanto: S: D, P: D
Ejemplo: «Algunos perros son negros»
No se habla de:
- Todos los perros ✗
- Todos los negros ✗
Por tanto: S: ND, P: ND
Ejemplo: «Algunos perros no son negros»
Se habla de:
- Algunos perros ✗ No distribuido
- Pero se excluye a esos individuos de TODA la clase de los negros ✓ Distribuido
Por tanto: S: ND, P: D
Forma A: D–ND (Distribuido–No distribuido)
Forma E: D–D (Distribuido–Distribuido)
Forma I: ND–ND (No distribuido–No distribuido)
Forma O: ND–D (No distribuido–Distribuido)
Donde D = distribuido y ND = no distribuido
La figura depende de la posición del término medio en las dos premisas.
Nota histórica importante: Aristóteles reconoce tres figuras principales. La cuarta figura pertenece a la sistematización posterior de la silogística.
M — P
S — M
∴ S — PTodos los mamíferos son animales.
Todos los perros son mamíferos.
∴ Todos los perros son animales.El término medio es:
- Sujeto de la premisa mayor
- Predicado de la premisa menor
P — M
S — M
∴ S — PEl término medio es predicado en ambas premisas.
Ningún reptil es mamífero.
Todos los perros son mamíferos.
∴ Ningún perro es reptil.M — P
M — S
∴ S — PEl término medio es sujeto en ambas premisas.
Todos los mamíferos son animales.
Algunos mamíferos son perros.
∴ Algunos perros son animales.La cuarta figura es posterior a Aristóteles y fue incorporada a la silogística tradicional.
P — M
M — S
∴ S — PLa tradición medieval desarrolló esta figura y sus modos.
Conclusión: Tres figuras son propiamente aristotélicas; cuatro figuras pertenecen a la tradición silogística desarrollada posteriormente.
El modo especifica el tipo de cada una de las tres proposiciones:
- Premisa mayor
- Premisa menor
- Conclusión
Todos M son P. — A
Todos S son M. — A
∴ Todos S son P. — AEste es un modo: AAA
Como pertenece a la primera figura: AAA-1
La tradición medieval lo llamó: Barbara
La tradición reconoce cuatro modos principales.
Todos M son P.
Todos S son M.
∴ Todos S son P.Ningún M es P.
Todos S son M.
∴ Ningún S es P.Todos M son P.
Algunos S son M.
∴ Algunos S son P.Ningún M es P.
Algunos S son M.
∴ Algunos S no son P.Ningún P es M.
Todos S son M.
∴ Ningún S es P.Todos P son M.
Ningún S es M.
∴ Ningún S es P.Ningún P es M.
Algunos S son M.
∴ Algunos S no son P.Todos P son M.
Algunos S no son M.
∴ Algunos S no son P.Todos M son P.
Todos M son S.
∴ Algunos S son P.Algunos M son P.
Todos M son S.
∴ Algunos S son P.Todos M son P.
Algunos M son S.
∴ Algunos S son P.Algunos M no son P.
Todos M son S.
∴ Algunos S no son P.Ningún M es P.
Algunos M son S.
∴ Algunos S no son P.Ningún M es P.
Todos M son S.
∴ Algunos S no son P.En la tradición posterior encontramos:
- Bramantip — AAI-4
- Camenes — AEE-4
- Dimaris — IAI-4
- Fesapo — EAO-4
- Fresison — EIO-4
Esta lista pertenece a la silogística tradicional, no a la formulación original de Aristóteles.
La lista completa de los 19 modos principales es:
- Barbara
- Celarent
- Darii
- Ferio
- Cesare
- Camestres
- Festino
- Baroco
- Darapti
- Disamis
- Datisi
- Bocardo
- Ferison
- Felapton
- Bramantip
- Camenes
- Dimaris
- Fesapo
- Fresison
4 + 4 + 6 + 5 = 19No sin condiciones adicionales. Este es uno de los puntos más importantes de todo el tema.
Algunos modos tradicionales, como Darapti, dependen de una presuposición de existencia.
Todos M son P.
Todos M son S.
∴ Algunos S son P.Para que la conclusión «Algunos S son P» sea verdadera, tiene que existir al menos un M.
Pero las dos premisas universales, interpretadas según la lógica moderna estándar, no garantizan que exista ningún M.
Por tanto:
- El modo es válido bajo una interpretación tradicional con compromiso existencial
- Pero no es válido en la lógica moderna estándar sin una premisa adicional que garantice la existencia de M
Esta cuestión explica una diferencia fundamental entre la silogística tradicional y la lógica moderna.
Todo S es P → ∀x(Sx → Px)Esto NO implica:
∃x SxEs decir: No implica que exista ningún S.
Algún S es P → ∃x(Sx ∧ Px)SÍ implica existencia.
Consideremos: «Todos los unicornios son animales»
En lógica moderna puede ser verdadera aunque no exista ningún unicornio.
¿Por qué?
Porque significa:
Si algo es un unicornio, entonces es un animal.
No afirma:
Existe algún unicornio.
En cambio: «Algunos unicornios son animales»
SÍ afirma que existe al menos un unicornio.
Consideremos:
Todos los unicornios son animales.
Todos los unicornios son blancos.
∴ Algunos animales son blancos.Las dos premisas pueden ser verdaderas aunque no exista ningún unicornio.
La conclusión afirma existencia:
Algunos animales son blancos.
Por tanto: El argumento no es válido en lógica moderna simplemente a partir de esas dos premisas.
La tradición silogística puede tratar determinadas formas de manera diferente debido a su concepción de la existencia.
La tradición lógica presenta cuatro proposiciones y cuatro relaciones entre ellas.
- A: Todo S es P
- E: Ningún S es P
- I: Algún S es P
- O: Algún S no es P
- Contradicción
- Contrariedad
- Subcontrariedad
- Subalternación
Nota: El llamado cuadrado de oposición es un producto de la tradición lógica posterior y no debe presentarse como un diagrama diseñado literalmente por Aristóteles.
A y O son contradictorias:
Todo S es P ↔↔↔ Algún S no es PE e I también son contradictorias:
Ningún S es P ↔↔↔ Algún S es PEn la interpretación clásica apropiada:
No pueden ser ambas verdaderas ni ambas falsas.
A y E son contrarias:
Todo S es P vs Ningún S es P- No pueden ser ambas verdaderas
- Pero pueden ser ambas falsas
- «Todos los animales son mamíferos» — falso
- «Ningún animal es mamífero» — también falso
Ambas pueden ser falsas simultáneamente.
I y O son tradicionalmente subcontrarias:
Algún S es P vs Algún S no es P- Pueden ser ambas verdaderas
- «Algunos animales son mamíferos» — verdadero
- «Algunos animales no son mamíferos» — verdadero
Ambas pueden ser verdaderas simultáneamente.
Tradicionalmente:
A → I (Todo S es P → Algún S es P)
E → O (Ningún S es P → Algún S no es P)Pero estas inferencias presuponen que existe algún S.
En la lógica moderna estándar no son válidas sin una premisa existencial adicional.
Esta distinción suele omitirse en las explicaciones introductorias.
El cuadrado tradicional presupone determinadas relaciones de existencia.
La lógica moderna puede conservar las relaciones de contradicción, pero no acepta automáticamente todas las relaciones tradicionales de:
- Contrariedad
- Subcontrariedad
- Subalternación
cuando se permite que las clases sean vacías.
No debe enseñarse el cuadrado tradicional como si todas sus relaciones fueran válidas sin condiciones en la lógica moderna.
Las reglas tradicionales pueden resumirse así.
Debe haber exactamente tres términos distintos:
- Mayor
- Menor
- Medio
El término medio debe estar distribuido al menos una vez.
Si nunca está distribuido, no conecta adecuadamente los otros dos términos.
Un término no puede estar distribuido en la conclusión si no estaba distribuido en su premisa correspondiente.
Esto evita:
- Ilícito mayor
- Ilícito menor
Dos premisas negativas no producen conclusión válida.
No establecen la conexión necesaria entre los términos extremos.
Si una premisa es negativa, la conclusión debe ser negativa.
En un silogismo categórico válido tradicional.
Si ambas premisas son afirmativas, la conclusión no puede ser negativa.
Las premisas afirmativas no generan una exclusión en la conclusión.
Dos premisas particulares no producen un silogismo categórico válido.
No garantizan la necesaria conexión entre los individuos mencionados.
El ilícito mayor aparece cuando el término mayor está distribuido en la conclusión pero no en la premisa mayor.
La conclusión atribuye una información sobre todos los miembros de una clase que la premisa no había establecido para todos.
El ilícito menor aparece cuando el término menor está distribuido en la conclusión pero no en la premisa menor.
De nuevo, la conclusión realiza una afirmación más fuerte que la permitida por las premisas.
Todos los perros son animales.
Todos los gatos son animales.
∴ Todos los gatos son perros.M = animales
En ambas premisas, «animales» no está distribuido.
Por tanto: No se establece la conexión necesaria entre gatos y perros.
Todo banco es una institución financiera.
Todo banco está junto al río.
∴ Toda institución financiera está junto al río.Aquí «banco» tiene dos sentidos distintos. La palabra es la misma, pero el término lógico no lo es.
Esto produce una equivocación.
De:
Todos los perros son mamíferos.Se sigue:
Perros ⊆ MamíferosPero NO:
Perros = MamíferosDel mismo modo:
Todos los gatos son animales.
Todos los perros son animales.NO implica:
Todos los gatos son perros.Compartir una clase superior no convierte dos clases en idénticas.
Un argumento es válido cuando su forma garantiza que:
Si todas las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es.
La formulación moderna más precisa es:
No existe una interpretación en la que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa.
La verdad es una propiedad de las proposiciones.
Por ejemplo:
«Todos los perros son animales» puede ser verdadera.
Pero:
«Un argumento es válido» es una afirmación sobre la relación entre proposiciones, no sobre la verdad de una proposición individual.
Un argumento es sólido cuando:
- Es válido
- Sus premisas son verdaderas
Validez ≠ Verdad
Solidez = Validez + Verdad de las premisasTodos los peces son mamíferos.
Todos los mamíferos vuelan.
∴ Todos los peces vuelan.La forma es:
Todos M son P.
Todos S son M.
∴ Todos S son P.- La forma es válida ✓
- Pero las premisas son falsas ✗
Por tanto: El argumento no es sólido.
La lógica responde principalmente a:
¿Qué se sigue de qué?
No responde por sí sola:
¿Son verdaderas todas las premisas?
Para eso hacen falta otras fuentes de justificación:
- Observación
- Experiencia
- Definiciones
- Principios
- Demostraciones anteriores
- Investigación científica
- Etc.
Esta distinción es fundamental para entender la teoría aristotélica de la demostración.
Si todo conocimiento necesitara ser demostrado mediante otra proposición, se produciría una regresión indefinida.
Aristóteles sostiene que la ciencia debe descansar finalmente en principios primeros.
La cuestión de cómo conocemos esos principios pertenece a una dimensión más amplia de su epistemología.
La lógica establece qué conclusiones se siguen de determinadas premisas, pero no puede convertir cualquier premisa arbitraria en una verdad.
Uno de los principios fundamentales de la filosofía aristotélica es el principio de no contradicción.
En una formulación moderna aproximada:
No es posible que una proposición sea verdadera y falsa simultáneamente en el mismo sentido y bajo las mismas condiciones.
Formalmente:
¬(P ∧ ¬P)La clave está en: «al mismo tiempo, en el mismo sentido y bajo las mismas condiciones»
No hay contradicción en decir:
«Sócrates está sentado» y después «Sócrates no está sentado»
si las afirmaciones corresponden a momentos diferentes.
El principio del tercero excluido se expresa aproximadamente como:
P o no-P
Formalmente:
P ∨ ¬PHay que distinguirlo cuidadosamente de la no contradicción.
No contradicción: No pueden ser verdaderas simultáneamente P y no-P
Tercero excluido: No pueden ser ambas falsas P y no-P
La tradición posterior formula el principio de identidad como:
A = A
No debe atribuirse sin matices esta formulación simbólica a Aristóteles.
Lo importante es la idea de que una cosa es ella misma.
Para Aristóteles, una demostración científica no consiste simplemente en obtener una conclusión mediante una forma válida.
Debe partir de premisas adecuadas para explicar por qué la conclusión es verdadera.
La teoría de la demostración de los Segundos analíticos conecta:
- Lógica
- Conocimiento
- Ciencia
- Explicación
Por eso la lógica aristotélica no es simplemente una colección de reglas para detectar errores.
No todo razonamiento deductivo es un silogismo categórico.
Todos M son P.
Todos S son M.
∴ Todos S son P.Si P, entonces Q.
P.
∴ Q.Si P, entonces Q.
No Q.
∴ No P.Estas últimas formas pertenecen a la lógica proposicional y no deben confundirse con el silogismo categórico aristotélico.
Si P, entonces Q.
P.
∴ Q.Si llueve, la calle se moja.
Llueve.
∴ La calle se moja.Es una inferencia deductivamente válida.
Si P, entonces Q.
No Q.
∴ No P.Si el interruptor está encendido, la lámpara recibe corriente.
La lámpara no recibe corriente.
∴ El interruptor no está encendido.La validez depende, naturalmente, de que la relación expresada en la primera premisa sea realmente la implicación utilizada.
Aristóteles estudió argumentos que parecen correctos pero no lo son.
Entre los tipos tradicionales aparecen:
- Equivocación
- Anfibología
- Composición
- División
- Accidente
- Petición de principio
- Ignorancia de la cuestión
Las clasificaciones modernas son más amplias y no coinciden exactamente con la aristotélica.
Una misma expresión se utiliza con diferentes significados.
Todo banco es una institución financiera.
Este banco está junto al río.
∴ Esta institución financiera está junto al río.El término «banco» cambia de significado.
Una expresión sintácticamente ambigua permite distintas interpretaciones.
El problema no reside necesariamente en una palabra aislada, sino en la construcción completa.
La consecuencia es que una interpretación puede parecer apoyar una conclusión mientras otra interpretación no lo hace.
De:
cada parte tiene una propiedad
Se concluye:
el conjunto tiene esa propiedad
No siempre es válido.
De:
el conjunto tiene una propiedad
Se concluye:
cada parte tiene esa propiedad
Tampoco es válido en general.
El argumento utiliza, de forma explícita o encubierta, aquello que pretende demostrar.
La dificultad consiste en que la conclusión puede aparecer reformulada, de modo que el círculo no resulte inmediatamente evidente.
El procedimiento más eficaz es:
Pregúntate: ¿Qué se pretende demostrar?
Es el sujeto de la conclusión.
Es el predicado de la conclusión.
Es el término que aparece en ambas premisas pero no en la conclusión.
Determina si cada una es: A, E, I u O
Muestra dónde aparece M en cada premisa.
Por ejemplo: A + A + A = AAA
Utiliza:
A = D–ND
E = D–D
I = ND–ND
O = ND–DBusca:
- Término medio no distribuido
- Ilícito mayor
- Ilícito menor
- Dos premisas negativas
- Dos premisas particulares
- Conclusión incompatible con las premisas
Especialmente si una conclusión particular procede de premisas universales.
Argumento:
Todos los mamíferos son animales.
Todos los perros son mamíferos.
∴ Todos los perros son animales.Análisis:
S (término menor): perros
P (término mayor): animales
M (término medio): mamíferos
Proposición mayor: A (universal afirmativa)
Proposición menor: A (universal afirmativa)
Conclusión: A (universal afirmativa)
Modo: AAA
Figura: Primera (M–P / S–M)
Modo tradicional: Barbara
Forma: AAA-1
Resultado: ✓ Válido
Argumento:
Ningún reptil es mamífero.
Todos los cocodrilos son reptiles.
∴ Ningún cocodrilo es mamífero.Análisis:
S (término menor): cocodrilos
P (término mayor): mamíferos
M (término medio): reptiles
Forma: Ningún M es P; Todos S son M; ∴ Ningún S es P
Modo: EAE-1
Modo tradicional: Celarent
Resultado: ✓ Válido
Argumento:
Todos los mamíferos respiran.
Algunos animales son mamíferos.
∴ Algunos animales respiran.Análisis:
S (término menor): animales
P (término mayor): seres que respiran
M (término medio): mamíferos
Forma: Todos M son P; Algunos S son M; ∴ Algunos S son P
Modo: AII-1
Modo tradicional: Darii
Resultado: ✓ Válido
Argumento:
Ningún reptil es mamífero.
Algunos animales son reptiles.
∴ Algunos animales no son mamíferos.Análisis:
S (término menor): animales
P (término mayor): mamíferos
M (término medio): reptiles
Forma: Ningún M es P; Algunos S son M; ∴ Algunos S no son P
Modo: EIO-1
Modo tradicional: Ferio
Resultado: ✓ Válido
Argumento:
Todos los perros son animales.
Todos los gatos son animales.
∴ Todos los gatos son perros.Análisis:
S (término menor): gatos
P (término mayor): perros
M (término medio): animales
Problema: M no está distribuido en ninguna premisa
Fallo: Término medio no distribuido
Resultado: ✗ Inválido
Método para demostrar invalidez
Podemos construir un contraejemplo para el argumento anterior:
Supongamos:
- Todos los perros son animales ✓
- Todos los gatos son animales ✓
- Algunos animales son perros ✓
- Algunos animales son gatos ✓
- Pero ningún gato es perro ✓
Las premisas siguen siendo verdaderas y la conclusión es falsa.
Por tanto: La inferencia no es necesaria.
La estrategia general es extremadamente útil:
Para demostrar invalidez, basta encontrar un caso en el que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.
Para demostrar validez, en cambio, hay que establecer que no existe ningún caso de ese tipo.
Esta distinción es central en la lógica contemporánea.
La lógica tradicional estudia operaciones entre proposiciones.
La conversión intercambia sujeto y predicado.
Ningún S es P → Ningún P es SEjemplo:
Ningún reptil es mamífero → Ningún mamífero es reptil
Algún S es P → Algún P es SEjemplo:
Algunos filósofos son griegos → Algunos griegos son filósofos
Todos los perros son animales.NO implica:
Todos los animales son perros.La inclusión no funciona en ambas direcciones.
Formalmente:
Perros ⊆ Animales ≠ Animales ⊆ PerrosLa obversión cambia la cualidad y sustituye el predicado por su complemento.
Ejemplo:
Todo S es P → Ningún S es no-PEsta operación conserva la equivalencia lógica dentro del sistema tradicional correspondiente.
En determinadas formas:
Todo S es P ↔ Todo no-P es no-SPero la contraposición no es una transformación uniforme aplicable a todas las formas categóricas.
⚠️ No debe confundirse con:
- Conversión
- Obversión
- Negación
Una forma sencilla de visualizar muchos silogismos es mediante inclusión de clases.
Todos los perros son mamíferos. → Perros ⊆ Mamíferos
Todos los mamíferos son animales. → Mamíferos ⊆ Animales
Por transitividad: Perros ⊆ Animales
∴ Todos los perros son animales.Esta representación es moderna, pero ayuda a comprender la estructura de muchas inferencias categóricas.
Ningún mamífero es reptil.
Todos los perros son mamíferos.
∴ Ningún perro es reptil.Podemos visualizar:
Mamíferos ∩ Reptiles = ∅
Perros ⊆ Mamíferos
Por tanto: Perros ∩ Reptiles = ∅Todos los mamíferos respiran.
Algunos animales son mamíferos.
∴ Algunos animales respiran.La segunda premisa garantiza que existe al menos un animal que es mamífero.
La primera permite atribuirle la propiedad «respirar».
Por tanto: La conclusión está justificada.
La lógica aristotélica no es equivalente a la lógica contemporánea.
La lógica moderna distingue, entre otros sistemas:
- Lógica proposicional
- Lógica de predicados
- Lógicas modales
- Lógicas temporales
- Lógicas intuicionistas
- Lógicas de orden superior
No hace falta introducir todos estos sistemas para comprender a Aristóteles, pero sí entender que la silogística es sólo una parte del campo lógico actual.
Trabaja con proposiciones completas y conectivas como:
- No
- Y
- O
- Si… entonces
- Si y sólo si
Ejemplo:
Si llueve, la calle se moja. → P → QEl silogismo categórico trabaja con una estructura diferente:
Todo S es PPermite representar:
- Individuos
- Propiedades
- Relaciones
- Cuantificadores
Ejemplo 1:
Todos los seres humanos son mortales.
∀x(Humano(x) → Mortal(x))Ejemplo 2:
Algún ser humano es filósofo.
∃x(Humano(x) ∧ Filósofo(x))La capacidad expresiva es muy superior a la de la silogística categórica.
Consideremos:
Todo estudiante conoce a algún profesor.
Una representación moderna posible es:
∀x(Estudiante(x) → ∃y(Profesor(y) ∧ Conoce(x,y)))Aquí aparecen:
- Un cuantificador universal
- Un cuantificador existencial
- Una relación entre individuos
Esto muestra por qué la lógica de predicados supera ampliamente al silogismo categórico en expresividad.
La lógica moderna no conserva el sistema aristotélico como su único fundamento, pero sí continúa investigando problemas que Aristóteles colocó en el centro:
- Consecuencia lógica
- Inferencia
- Contradicción
- Demostración
- Validez
- Estructura argumentativa
Su contribución histórica es, por tanto, fundamental.
❌ No decir:
Aristóteles creó las letras A, E, I y O.
✅ Mejor:
La tradición lógica posterior clasificó las formas categóricas como A, E, I y O.
❌ No decir:
Aristóteles formuló cuatro figuras.
✅ Mejor:
Aristóteles reconoce tres figuras; la cuarta fue desarrollada por la tradición posterior.
❌ No decir:
Los 19 modos son simplemente los 19 silogismos de Aristóteles.
✅ Mejor:
La tradición medieval sistematizó 19 modos silogísticos principales.
❌ No decir:
Todo S es P implica que existe algún S.
✅ Mejor:
En la lógica moderna estándar, una universal no implica por sí sola existencia.
Una explicación rigurosa debe distinguir tres capas históricas:
Aportaciones originales:
- Términos
- Proposiciones
- Silogismos
- Tres figuras
- Demostración
Desarrollos posteriores:
- A, E, I, O
- Barbara, Celarent, etc.
- Cuarta figura
- 19 modos
- Reglas mnemotécnicas
- Elaboraciones sobre distribución y oposición
Innovaciones contemporáneas:
- Variables
- Cuantificadores
- Predicados
- Relaciones
- Modelos
- Consecuencia lógica formal
- Tratamiento sistemático de clases vacías
Esta separación evita atribuir a Aristóteles conceptos desarrollados siglos después.
TÉRMINOS
↓
PROPOSICIONES
↓
PREMISAS
↓
TÉRMINO MEDIO
↓
FIGURA
↓
MODO
↓
CONCLUSIÓN
↓
VALIDEZ
Y en un nivel superior:
VALIDEZ + PREMISAS VERDADERAS = ARGUMENTO SÓLIDOUn elemento que puede desempeñar la función de sujeto o predicado en una proposición categórica.
Una afirmación o negación susceptible de verdad o falsedad.
Una inferencia en la que determinadas premisas implican necesariamente una conclusión.
El término que aparece en ambas premisas pero no en la conclusión.
La posición del término medio en las premisas.
La combinación de tipos A, E, I y O de las tres proposiciones.
La propiedad tradicional de un término cuando la proposición se refiere a todos los miembros de la clase correspondiente.
La imposibilidad de que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.
Validez más premisas verdaderas.
Todo el sistema puede visualizarse mediante una única intuición fundamental:
El término medio proporciona el puente que permite conectar el término menor con el término mayor.
S ⊆ M (Perros ⊆ Mamíferos)
M ⊆ P (Mamíferos ⊆ Animales)
∴ S ⊆ P (Perros ⊆ Animales)La lógica aristotélica enseña una distinción fundamental:
Que una conclusión parezca razonable no significa que se siga necesariamente de las premisas.
Y también:
Que un argumento sea válido no significa que sus premisas sean verdaderas.
Hay, por tanto, dos preguntas independientes.
¿La conclusión se sigue de las premisas?
Eso es validez.
¿Son verdaderas las premisas?
Eso es una cuestión diferente.
Para tener una demostración sólida necesitamos ambas cosas.
La lógica aristotélica es una teoría sistemática de la inferencia, la predicación y la demostración. Su pieza central es el silogismo.
- Dos premisas
- Una conclusión
- Tres términos
Término Menor (S): Sujeto de la conclusión
Término Mayor (P): Predicado de la conclusión
Término Medio (M): Aparece en ambas premisas, no en la conclusión
Forma A: Todo S es P — Ejemplo: Todos los perros son mamíferos
Forma E: Ningún S es P — Ejemplo: Ningún perro es reptil
Forma I: Algún S es P — Ejemplo: Algunos animales son mamíferos
Forma O: Algún S no es P — Ejemplo: Algunos animales no son mamíferos
A = D–ND
E = D–D
I = ND–ND
O = ND–DD = distribuido | ND = no distribuido
- Aristóteles reconoce tres figuras principales
- La cuarta figura pertenece a la tradición posterior
- La tradición medieval sistematizó 19 modos principales:
- 4 en primera figura
- 4 en segunda
- 6 en tercera
- 5 en cuarta
Un silogismo válido debe cumplir:
- Exactamente tres términos
- Término medio distribuido al menos una vez
- Ningún término distribuido en la conclusión sin estarlo en su premisa
- No dos premisas negativas
- Si una premisa es negativa, la conclusión también
- Si ambas premisas son afirmativas, la conclusión es afirmativa
- No dos premisas particulares
La silogística tradicional y la lógica moderna no tienen exactamente el mismo tratamiento de la existencia.
En lógica moderna:
«Todo S es P» no implica «Existe algún S»
Por eso determinados modos tradicionales necesitan una premisa existencial adicional para ser válidos en lógica moderna.
- Aristóteles proporciona el núcleo original de la teoría del silogismo
- La tradición medieval desarrolla la terminología A-E-I-O, nombres mnemotécnicos y la cuarta figura
- La lógica moderna amplía enormemente el sistema mediante la lógica proposicional y, sobre todo, la lógica de predicados
La continuidad fundamental entre todas estas etapas es una misma pregunta:
¿Qué hace que una conclusión se siga lógicamente de unas premisas?
Esa pregunta constituye el corazón de la lógica.
Esta nota cubre el nacimiento de la lógica en la tradición aristotélica y su desarrollo medieval. La transformación que la convirtió en disciplina matemática formal desde Leibniz hasta Turing se desarrolla en la lógica después de la tradición aristotélica.
Lógica Aristotélica
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