Lógica post-aristotélica: de Leibniz y Boole a la lógica moderna
La transformación moderna de la lógica: el cálculo de Leibniz, el álgebra de Boole y De Morgan y el nacimiento de la lógica matemática contemporánea y de la computación.
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A partir de la Edad Moderna, la lógica experimentó una transformación que terminó cambiando por completo su naturaleza. Esta nota continúa el recorrido iniciado en lógica aristotélica, donde vimos el nacimiento de la silogística.
Durante siglos, la lógica había estado ligada principalmente al análisis de argumentos expresados en lenguaje ordinario. A partir de los siglos XVII y XIX comenzó a aparecer una idea nueva y decisiva:
El razonamiento podía representarse mediante un lenguaje artificial y manipularse mediante reglas formales, como si fuera un cálculo.
De esa transformación surgieron la lógica matemática, la teoría de la demostración, la teoría de modelos, la semántica formal y buena parte de los fundamentos de la informática.
Gottfried Wilhelm Leibniz fue uno de los primeros pensadores modernos en imaginar una transformación radical de la lógica.
Su proyecto consistía en crear un lenguaje formal universal, una especie de lenguaje simbólico del razonamiento, en el que las disputas pudieran resolverse mediante reglas de cálculo.
La idea puede resumirse así:
Si podemos representar exactamente un razonamiento mediante símbolos, quizá podamos resolverlo mediante un cálculo.
Leibniz no consiguió construir ese sistema completo, pero la idea anticipó la lógica matemática de los siglos XIX y XX.
La aportación de Leibniz fue principalmente programática: convirtió el sueño de una lógica calculable en un proyecto intelectual.
En el siglo XIX se produjo el primer gran cambio técnico.
George Boole desarrolló un sistema algebraico para representar operaciones lógicas.
Las proposiciones podían combinarse mediante operaciones formales equivalentes a:
- conjunción;
- disyunción;
- negación.
Por ejemplo:
A y B
puede representarse formalmente como:
A ∧ B
y:
A o B
como:
A ∨ B
Esto permitió tratar parte del razonamiento como una operación simbólica calculable.
Augustus De Morgan desarrolló importantes leyes sobre la negación y las operaciones lógicas.
Entre las más conocidas están:
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
Aquí aparece una transformación fundamental:
La lógica empieza a parecerse a las matemáticas.
Pero todavía faltaba una herramienta decisiva: poder hablar formalmente de objetos, propiedades y relaciones.
Gottlob Frege realizó probablemente la transformación más importante de toda la historia de la lógica desde la Antigüedad.
En 1879 publicó Begriffsschrift, donde desarrolló un sistema formal que introducía recursos fundamentales de la lógica moderna.
La diferencia esencial está en que ya no se limita a estudiar estructuras del tipo:
Todos los A son B.
Puede expresar:
Para todo objeto x, si x es A, entonces x es B.
Formalmente:
∀x (A(x) → B(x))
Esto permite representar una cantidad enorme de razonamientos que no podían expresarse adecuadamente mediante la lógica tradicional.
Frege formalizó de manera sistemática los cuantificadores:
∀x = para todo x
∃x = existe algún x
Esto permitió expresar:
- propiedades de objetos;
- relaciones entre objetos;
- existencia;
- universalidad;
- estructuras matemáticas complejas.
Frege introdujo también una concepción funcional del lenguaje lógico.
Una expresión como:
«Sócrates es mortal»
puede analizarse mediante una función:
Mortal(Sócrates)
Esto permite separar:
- el predicado;
- el objeto al que se aplica.
Frege proporciona el lenguaje formal básico sobre el que se construirá buena parte de la lógica contemporánea.
La transición fundamental es:
lógica de términos → lógica de predicados.
Este es probablemente el cambio técnico más importante de toda esta historia.
A comienzos del siglo XX, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead llevaron el programa de formalización mucho más lejos.
En Principia Mathematica intentaron reconstruir las matemáticas a partir de principios lógicos y sistemas formales.
Pero apareció un problema profundo en la teoría de conjuntos.
Consideremos el conjunto formado por todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos.
La pregunta es:
¿Ese conjunto se pertenece a sí mismo?
Si se pertenece, entonces no debería pertenecer.
Si no se pertenece, entonces debería pertenecer.
La contradicción mostró que las matemáticas necesitaban fundamentos formales más rigurosos.
La lógica dejó de ser solamente una teoría sobre argumentos.
Pasó a convertirse también en una herramienta para investigar:
¿Sobre qué fundamentos se construyen las matemáticas?
Este problema de los fundamentos dominaría buena parte de la lógica del siglo XX.
David Hilbert defendió un ambicioso programa para fundamentar las matemáticas mediante sistemas formales rigurosos.
La idea era, simplificando:
- formalizar las matemáticas;
- establecer axiomas precisos;
- definir reglas de demostración;
- demostrar que el sistema no conduce a contradicciones.
El objetivo era obtener una base matemática completamente segura mediante métodos formales.
Pero el programa encontraría un límite inesperado.
En 1931, Kurt Gödel publicó sus famosos teoremas de incompletitud.
Su importancia es enorme porque demostraron que un sistema formal suficientemente potente para expresar una parte importante de la aritmética no puede, bajo condiciones naturales, ser simultáneamente completo en el sentido de demostrar todas las verdades aritméticas expresables dentro de él y mantenerse consistente.
Dicho de manera intuitiva:
Hay límites a lo que puede demostrarse mediante un sistema formal.
Esto fue una respuesta profunda a los grandes programas de fundamentación de las matemáticas.
Es importante no interpretar el resultado como una demostración de que las matemáticas contienen contradicciones.
Gödel mostró algo diferente:
La consistencia y la capacidad de demostrar todas las verdades de un sistema suficientemente potente no pueden obtenerse de la manera que pretendían ciertos programas formalistas.
Con Gödel, la lógica pasa a estudiar no solamente:
«¿Qué argumentos son válidos?»
sino también:
«¿Qué puede demostrar un sistema formal y cuáles son sus límites?»
Este cambio es fundamental.
Alfred Tarski realizó otra aportación fundamental: desarrollar una teoría matemática rigurosa de la verdad.
La cuestión era aparentemente sencilla:
¿Cuándo es verdadera una proposición?
Pero formalizar esta pregunta exige distinguir cuidadosamente entre:
- el lenguaje del que hablamos;
- el lenguaje utilizado para hablar sobre ese lenguaje.
De aquí surge la distinción entre:
lenguaje objeto
y
metalenguaje.
Tarski proporcionó una de las bases fundamentales de la semántica formal moderna.
Con Tarski, la lógica no se ocupa solamente de:
sintaxis: cómo se construyen y manipulan las expresiones.
También puede estudiar rigurosamente:
semántica: qué significan y cuándo son verdaderas esas expresiones.
Aquí aparece una de las consecuencias más importantes de toda esta evolución.
En 1936, Alan Turing desarrolló el concepto abstracto de máquina de Turing.
La cuestión era profundamente lógica:
¿Qué significa exactamente que un problema pueda ser resuelto mediante un procedimiento mecánico?
Turing mostró cómo representar formalmente procesos de cálculo.
Alonzo Church desarrolló simultáneamente otro formalismo, el cálculo lambda, y formuló junto con el trabajo de Turing lo que se conoce como tesis de Church-Turing.
La idea central es que las nociones matemáticas de:
algoritmo, procedimiento efectivo y computabilidad
pueden caracterizarse mediante formalismos precisos.
La lógica dejó de ser solamente una disciplina filosófica y matemática.
Se convirtió también en uno de los fundamentos teóricos de la informática.
La lógica clásica siguió siendo fundamental, pero durante el siglo XX aparecieron sistemas diseñados para tratar problemas específicos.
Lógica modal
Formaliza:
- necesidad;
- posibilidad.
Por ejemplo:
Es posible que A.
Es necesario que A.
Lógica intuicionista
Modifica ciertos principios de la lógica clásica y vincula estrechamente la verdad matemática con la posibilidad de construir una demostración.
Tiene además una conexión profunda con la informática teórica.
Permite representar afirmaciones sobre el tiempo:
A ocurrirá.
A siempre será cierto.
Es utilizada en la verificación formal de programas y sistemas.
Formaliza conceptos como:
«A sabe que B».
«A cree que B».
Tiene aplicaciones en filosofía, teoría de juegos e inteligencia artificial.
Formaliza conceptos normativos:
obligatorio;
permitido;
prohibido.
Permite trabajar con determinados sistemas que contienen información contradictoria sin que cualquier proposición se vuelva demostrable.
Esto resulta especialmente relevante para sistemas que deben manejar bases de información inconsistentes.
Si hubiera que reducir toda esta evolución a las aportaciones fundamentales, serían estas:
Boole y otros autores mostraron que el razonamiento podía manipularse mediante operaciones simbólicas.
Frege introdujo un lenguaje capaz de expresar cuantificación, propiedades y relaciones.
Esta es probablemente la transformación técnica central.
Frege, Russell, Whitehead y Hilbert convirtieron la lógica en una herramienta para investigar qué estructura sostiene las matemáticas.
Gödel mostró que determinados sistemas formales suficientemente potentes tienen límites inevitables respecto a lo que pueden demostrar.
Tarski convirtió la semántica y la noción de verdad en objetos de estudio matemático riguroso.
Turing y Church conectaron profundamente lógica, algoritmos y computación.
Esta aportación acabaría siendo decisiva para la informática moderna.
La evolución puede resumirse de esta manera:
LEIBNIZ
↓
La lógica puede convertirse en cálculo
↓
BOOLE / DE MORGAN
↓
Álgebra de la lógica
↓
FREGE
↓
Lógica de predicados y cuantificadores
↓
RUSSELL / WHITEHEAD / HILBERT
↓
Fundamentos formales de las matemáticas
↓
GÖDEL
↓
Límites de los sistemas formales
↓
TARSKI
↓
Semántica y teoría formal de la verdad
↓
TURING / CHURCH
↓
Computabilidad y algoritmos
↓
LÓGICAS CONTEMPORÁNEAS
↓
Modal · intuicionista · temporal · epistémica · deóntica · paraconsistente...La gran revolución posterior a la tradición clásica y medieval fue que la lógica dejó de ser principalmente un estudio de las formas del razonamiento expresadas en lenguaje ordinario y se convirtió en una disciplina matemática formal.
El recorrido fundamental es:
Leibniz → cálculo lógico
Boole → álgebra lógica
Frege → lógica de predicados
Russell y Whitehead → fundamentos de las matemáticas
Gödel → límites de la demostración
Tarski → semántica y verdad
Turing y Church → computabilidad
Y de ahí surge una consecuencia decisiva: la lógica contemporánea no solo sirve para analizar argumentos; proporciona parte de la base matemática de las matemáticas, la informática, los lenguajes formales y la inteligencia artificial.
Lógica post aristotélica
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